마하 수

3. 정의

4. 물리적 의미

마하 수는 유체 흐름의 압축성 특성을 측정하는 척도이다. 즉, 유체(공기)는 다른 변수와 관계없이 주어진 마하 수에서 압축성의 영향을 받아 유사한 방식으로 작동한다.^[6] 국제 표준 대기 모델에 따르면, 평균 해수면의 건조 공기는 표준 온도 15°C에서 음속이 340.3m/s이다.^[7] 음속은 일정한 값이 아니다. 기체에서 음속은 절대 온도의 제곱근에 비례하여 증가하며, 대기 온도는 일반적으로 해수면에서 11000m 고도까지 증가함에 따라 감소하므로 음속도 감소한다. 예를 들어, 표준 대기 모델은 11000m 고도에서 온도를 -56.5°C로 감소시키며, 이에 해당하는 음속(마하 1)은 로, 해수면 값의 86.7%이다.

마하 수는 유동장의 관성력과 탄성력(유동을 압축하는 데 필요한 힘)의 비, 즉 유동장에서의 압축성 영향의 정도를 나타내며,^[9] 마하 수가 클수록 압축성의 영향이 증대된다. 이로부터 마하 수는 다음과 같은 물리적 의미를 가진다.

• 압축성을 고려할 필요성을 판단하기 위한 지표
• 마하 수가 큰 유동에서는 압축성의 영향이 커진다. 마하 수가 대략 0.3보다 클 때에는 압축성의 영향을 무시할 수 없다.
• 압축성에 관한 유동의 상사 조건[유사 조건]을 위한 지표
• 서로 다른 유동이라도 마하 수가 같을 때에는 압축성에 의한 영향은 둘 다 같다고 할 수 있다. 즉, 압축성에 관해 양자는 역학적으로 상사[유사]하다고 할 수 있다(상사 법칙 참조). 또한 레이놀즈 수와 기하학적 특징이 일치하면 양자의 유동은 완전히 상사[유사], 즉 모든 현상이 동일하게 일어난다.

5. 마하 수에 따른 유동장 분류

마하 수는 유동장 내 압축성의 영향력을 나타내는 척도이다. 마하 수에 따라 유동장의 특성이 크게 달라지므로, 다음과 같이 유동장을 분류한다.

• 아음속 유동 (subsonic flow^영어): 모든 유동 영역에서 유속이 음속보다 느린 경우이다. 대략 마하 0.7-0.8 미만이다.
• 천음속 유동 (transonic flow^영어): 유동의 일부 영역에서 유속이 음속을 초과하는 경우이다. 충격파가 발생하며, 대략 마하 0.7-0.8에서 1.2-1.25 사이이다. 유동장의 최대 마하 수가 1이 되는 상태를 임계 상태, 이때의 마하 수를 '''임계 마하수'''라고 한다.^[9]
• 초음속 유동 (supersonic flow^영어): 모든 유동 영역에서 유속이 음속을 초과하는 경우이다. 충격파가 전 영역에 걸쳐 발생하며, 초음속 전투기나 수퍼크루즈기 주변의 유동이 이에 해당한다. 대략 마하 1.2-1.25에서 5 사이이다.
• 극초음속 유동 (hypersonic flow^영어): 유속이 전반적으로 음속을 현저하게 초과하는 경우이다. 마하 5 이상에서는 단열 압축으로 인해 매우 심한 발열이 발생하여 유체가 전리되거나 플라스마화된다. 일부 실험기나 대기권 통과 시의 로켓 주변 유동이 이에 해당한다.

5. 1. 아음속 유동 (Subsonic flow)

5. 2. 천음속 유동 (Transonic flow)

5. 3. 초음속 유동 (Supersonic flow)

완전한 초음속 속도에서는 충격파가 원뿔 모양을 띠기 시작하고 유동은 완전히 초음속이거나 (둔한 물체의 경우) 물체의 노즈와 물체가 앞에 생성하는 충격파 사이에 매우 작은 아음속 유동 영역만 남게 된다. (날카로운 물체의 경우 노즈와 충격파 사이에 공기가 없으며, 충격파는 노즈에서 시작된다.)

마하 수가 증가함에 따라 충격파의 강도도 증가하고 마하 콘은 점점 좁아진다. 유체 흐름이 충격파를 통과하면 속도가 감소하고 온도, 압력 및 밀도가 증가한다. 충격파가 강할수록 변화가 커진다.

; 초음속 유동 (supersonic flow^영어)

: 모든 유동 영역에서 유속이 음속을 초과하는 유동장. 충격파가 전역에 발생한다. 초음속 전투기나 수퍼크루즈기 주변의 유동이 이에 해당한다. 대략 1.2-1.25 < ''Ma'' < 5 이다.

5. 4. 극초음속 유동 (Hypersonic flow)

• 매우 높은 속도: 유속이 전반적으로 음속을 훨씬 초과한다.
• 단열 압축으로 인한 극심한 발열: 공기가 압축되면서 온도가 급격히 상승하여, 공기 분자가 전리되거나 플라스즈마 상태가 된다. 이는 실제 기체에서 나타나는 현상이다.
• 충격파 후면의 고온: 극초음속으로 이동하는 물체는 기체와 동일한 극한 온도에 노출되므로, 내열 재료 선택이 중요해진다.
• 화학 반응: 충분히 높은 마하 수에서는 충격파를 지나면서 온도가 너무 증가하여, 충격파 뒤의 기체 분자들이 이온화되거나 해리되기 시작한다.

6. 고속 유동에서의 특징

국제 표준 대기 모델에 따르면, 평균 해수면의 건조 공기는 표준 온도 15°C에서 음속이 340.3m/s이다.^[7] 음속은 기체에서 절대 온도의 제곱근에 비례하여 증가하므로 일정하지 않다.

채널 내 유동이 초음속이 되면, 질량 유량 보존 법칙에 따라 예상되는 것과는 다른 현상이 발생한다. 아음속에서는 채널이 좁아지면 속도가 빨라지지만, 초음속에서는 채널을 확장해야 속도가 증가한다.

따라서 유동을 초음속으로 가속하려면 드 라발 노즐과 같은 수렴-발산 노즐이 필요하다. 이 노즐은 수렴 단면에서 유동을 음속으로 가속하고, 발산 단면에서 가속을 계속하여 극초음속 (20°C에서 마하 13)까지 도달하게 한다.

6. 1. 물체 주위의 고속 유동

비행은 대략 6가지 범주로 분류할 수 있다.

천음속 속도에서는 물체 주위의 유동장(flow field)에 아음속 부분과 초음속 부분이 모두 포함된다. 천음속 구간은 물체 주위에 M > 1의 유동 영역이 처음 나타날 때 시작된다. 익형 (예: 항공기 날개)의 경우, 일반적으로 날개 위에서 발생한다. 초음속 유동은 수직 충격파에서만 아음속으로 감속될 수 있으며, 이는 일반적으로 후연(trailing edge) 앞에서 발생한다. (그림 1a)

속도가 증가함에 따라 M > 1 유동 영역은 앞전(leading edge)과 후연 모두를 향해 증가한다. M = 1에 도달하고 이를 지나면 수직 충격파는 후연에 도달하여 약한 경사 충격파가 된다. 유동은 충격파 위에서 감속되지만 초음속 상태를 유지한다. 물체 앞에 수직 충격파가 생성되고, 유동장에서 아음속 영역은 물체의 앞전 주변의 작은 영역뿐이다. (그림 1b)

'''그림 1.''' 익형 주위의 천음속 기류에서의 마하 수; M < 1 (a) 및 M > 1 (b).

항공기가 마하 1 (즉, 음속 장벽)을 초과하면 항공기 바로 앞에 큰 압력 차이가 발생한다. 이 급격한 압력 차이를 충격파라고 하며, 항공기에서 원뿔 모양으로 뒤쪽과 바깥쪽으로 퍼진다 (소위 마하 콘). 이 충격파가 고속으로 움직이는 항공기가 머리 위로 이동할 때 들리는 음속 폭음을 일으킨다. 항공기 내부의 사람은 이것을 들을 수 없다. 속도가 높을수록 원뿔이 좁아지며, M = 1을 약간 넘으면 원뿔이라기보다는 약간 오목한 평면에 가깝다.

완전한 초음속 속도에서는 충격파가 원뿔 모양을 띠기 시작하고 유동은 완전히 초음속이거나 (둔한 물체의 경우) 물체의 노즈와 물체가 앞에 생성하는 충격파 사이에 매우 작은 아음속 유동 영역만 남게 된다. (날카로운 물체의 경우 노즈와 충격파 사이에 공기가 없으며, 충격파는 노즈에서 시작된다.)

마하 수가 증가함에 따라 충격파의 강도도 증가하고 마하 콘은 점점 좁아진다. 유체 흐름이 충격파를 통과하면 속도가 감소하고 온도, 압력 및 밀도가 증가한다. 충격파가 강할수록 변화가 커진다. 충분히 높은 마하 수에서는 충격파를 지나면서 온도가 너무 많이 증가하여 충격파 뒤의 기체 분자의 이온화 및 해리가 시작된다. 이러한 흐름을 극초음속이라고 한다.

극초음속 속도로 이동하는 모든 물체는 마찬가지로 노즈 충격파 뒤의 가스와 동일한 극한 온도에 노출되므로 내열 재료의 선택이 중요해진다.

6. 2. 채널 내 고속 유동

7. 마하 수 계산

마하 수는 유체 흐름의 압축성 특성을 나타내는 척도이다. 국제 표준 대기 모델에 따르면, 평균 해수면에서 건조 공기의 음속은 15°C에서 340.3m/s이다.^[7] 음속은 고도에 따라 변하며, 특히 성층권과 열권에서는 고도가 높아짐에 따라 증가한다.

마하 수는 움직이는 항공기의 속도(''u'')와 주어진 고도에서의 음속(''c'')의 비율로 계산된다.

:$$$$

\mathrm{M} = \frac{u}{c}



음속은 열역학적 온도의 제곱근에 비례하여 변화하며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:$$c\; =\; \backslash sqrt\{\backslash gamma\; \backslash cdot\; R\_*\; \backslash cdot\; T\},$$

여기서,

• $\backslash gamma\backslash ,$는 기체의 비열비 (공기의 경우 1.4)
• $R\_*$는 공기의 기체 상수
• $T,$는 정적 공기 온도이다.

• ''q_c''는 충격 압력 (동압)
• ''p''는 정압
• $\backslash gamma\backslash ,$는 기체의 비열비이다.

7. 1. 일반적인 계산

• M: 마하 수
• ''u'': 항공기의 속도
• ''c'': 주어진 고도(온도)에서의 음속

• $\backslash gamma\backslash ,$: 기체의 비열비 (공기는 1.4)
• $R\_*$: 공기의 기체 상수
• $T,$: 정적 공기 온도

• ''q_c'': 충격 압력 (동압)
• ''p'': 정압
• $\backslash gamma\backslash ,$: 기체의 비열비 (공기는 1.4)

7. 2. 피토관 압력을 이용한 계산

• ''q_c''는 수직 충격파 뒤에서 측정된 동압이다.

참조

_[1] 서적 A Brief Introduction to Fluid Mechanics John Wiley & Sons 2010-12-21
_[2] 서적 Engineering Fluid Mechanics CRC Press 2001-01-19
_[3] 백과사전 Ernst Mach https://www.britanni[...] 2016-01-06
_[4] 간행물 Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. and Jakob Ackert and the History of the Mach Number Schweizerische Bauzeitung, Annual Review of Fluid Mechanics
_[5] 서적 The Lockheed P-38 Lightning Widewing Publications
_[6] 웹사이트 Mach Number http://www.grc.nasa.[...]
_[7] 서적 Aerodynamics Pitman Publishing London
_[8] 보고서 Aircraft Performance Flight Testing http://www.aviation.[...] Air Force Flight Test Center, Edwards Air Force Base, California: United States Air Force
_[9] 서적 圧縮性流体力学 理工学社
_[10] 서적 世界の軍用機完全カタログ 全1587機種 コスミック出版
_[11] 웹사이트 90式戦車 の砲弾速度に対し｢マッハの世界｣という言葉が使われている。 https://www.mhi.com/[...] 2024-05-22